Rovnostranný kužeľ je špeciálny typ kužeľa, ktorého strana (tzv. vytvárajúca priamka) je rovná priemeru jeho podstavy. To znamená, že axiálny rez takého kužeľa (rez rovinou prechádzajúcou osou kužeľa) tvorí rovnostranný trojuholník. V takomto kuželi môže byť vpísaná guľa, ktorá sa dotýka podstavy kužeľa a všetkých jeho strán.
Výpočet objemu rovnostranného kužeľa a vpísanej gule
Pre pochopenie vzťahov medzi týmito dvoma telesami si ukážeme konkrétny príklad výpočtu objemu a percentuálneho podielu. Predstavme si zadanie, ktoré hovorí:
Do rovnostranného kužeľa s priemerom podstavy 12 cm je vpísaná guľa. Vypočítajte objem oboch telies. Koľko percent objemu kužeľa vypĺňa vpísaná guľa?
Na základe daných informácií môžeme určiť rozmery kužeľa. Priemer podstavy je d = 12 cm, z čoho vyplýva polomer podstavy r = d/2 = 12/2 = 6 cm. Keďže ide o rovnostranný kužeľ, jeho strana (vytvárajúca) s je rovná priemeru podstavy, teda s = d = 12 cm.
Postup správneho riešenia:
Výšku kužeľa h vypočítame pomocou Pytagorovej vety z pravouhlého trojuholníka tvoreného výškou, polomerom podstavy a stranou kužeľa:
- `h=s2−r2=122−62=6 3 cm≐10,3923 cm`
Následne môžeme vypočítať objem kužeľa V₁. Najprv vypočítame obsah podstavy S₁:
- `S1=π⋅ r2=3,1416⋅ 62≐113,0973 cm2`
Potom objem kužeľa:
- `V1=31⋅ S1⋅ h=31⋅ 113,0973⋅ 10,3923=391,7807 cm3`
Pre výpočet objemu vpísanej gule potrebujeme určiť jej polomer R. Pre guľu vpísanú do rovnostranného kužeľa platí špecifický vzťah medzi polomerom gule a priemerom podstavy kužeľa:
- `R=63⋅ d=63⋅ 12=2 3 cm≐3,4641 cm`
Teraz môžeme vypočítať objem gule V₂:
- `V2=34⋅ π⋅ R3=34⋅ 3,1416⋅ 3,46413=174,1247 cm3`
Na záver vypočítame, koľko percent objemu kužeľa vypĺňa vpísaná guľa:
- `p=100⋅ V1V2=100⋅ 391,7807174,1247=44,4444%`
Správna odpoveď: `V1 = 391,7807 cm3 V2 = 174,1247 cm3 p = 44,4444 %`
OBJEM KUŽEĽA - Ako ho VYPOČÍTAME?
Zhrnutie vypočítaných hodnôt
Prehľad hlavných rozmerov a objemov pre náš príklad:
| Parameter | Symbol | Hodnota (cm) / (cm³) |
|---|---|---|
| Priemer podstavy | d | 12 |
| Polomer podstavy | r | 6 |
| Strana kužeľa | s | 12 |
| Výška kužeľa | h | ≈ 10,3923 |
| Polomer gule | R | ≈ 3,4641 |
| Objem kužeľa | V₁ | ≈ 391,7807 |
| Objem gule | V₂ | ≈ 174,1247 |
| Percentuálny podiel objemu gule | p | ≈ 44,4444 % |
Vzťah povrchov a pomer polomerov
Ďalšia úloha môže skúmať vzťah medzi povrchmi telies. Uvažujme zadanie: Povrch gule s polomerom R tvorí 25 % povrchu rovnostranného kužeľa s polomerom podstavy r. Určte pomer polomeru gule R a polomeru podstavy kužeľa r.
Pre rovnostranný kužeľ platí, že jeho strana s = 2r. Povrch kužeľa S_k (bez podstavy, len plášť) je πrs, ale ak sa myslí celkový povrch, tak S_k = πr(r+s) = πr(r+2r) = 3πr². Povrch gule S_g je 4πR².Ak povrch gule tvorí 25 % povrchu rovnostranného kužeľa, potom platí:
4πR² = 0,25 ⋅ (3πr²)
Zjednodušením rovnice dostaneme:
4R² = 0,75r²
R²/r² = 0,75 / 4 = 3 / 16
A teda pomer polomerov:
R/r = √(3) / 4
Určenie uhlov v axiálnom reze rovnostranného kužeľa
Často sa stretávame aj s úlohami, ktoré sa týkajú uhlov v kuželi. Pre ilustráciu si pozrime príklad zo zadania: Do kužeľa je vpísaná guľa pričom pomer povrchu gule k obsahu podstavy kužeľa je 4:3. Rovina reže kužeľ v rovnoramennom trojuholníku. Určte veľkosť uhla proti základni.
Analyzujme pomer povrchu gule a obsahu podstavy kužeľa. Vieme, že povrch gule je 4πR² a obsah podstavy kužeľa je πr². Z daného pomeru 4:3 dostávame:
(4πR²) / (πr²) = 4/3
Po zjednodušení:
4R² / r² = 4/3
R² / r² = 1/3
R / r = 1 / √3
Tento pomer R/r = 1/√3 je kľúčový a jednoznačne definuje rovnostranný kužeľ. V takomto kuželi je axiálny rez rovnostranný trojuholník. Všetky vnútorné uhly rovnostranného trojuholníka sú 60 stupňov. "Uhol proti základni" v kontexte rovnoramenného trojuholníka (axiálneho rezu) je uhol pri vrchole. Pre rovnostranný kužeľ je to teda 60 stupňov.
V diskusii k tomuto zadaniu sa objavili rôzne prístupy a výsledky. Jeden používateľ uviedol: Po mojom výpočte mi vyšiel výsledok 72 stupňov aj nejaké drobné:) avšak Vo výsledkoch sa však uvádza výsledok 60 stupňov tak teraz neviem.
Návod, ktorý bol poskytnutý v diskusii, znel: keď rátaš pomer povrchu gule k obsahu podstavy kužeľa, vyjde Ti R polomer gule, r polomer podstavy kužeľa. To smeruje k správnemu určeniu pomeru polomerov.
Používateľ ďalej opísal svoj prístup k výpočtu uhla: Ja som viedol krajným bodom kružnice, ktorá je prienikom kuzela a gule priamku rovnobežne s osou kužeľa. Dostal som tak pravouhlý trojuholník, ktorého jedným uhlom je polovica hladaného uhla a jeho odvesny maju velkosti (r - R) , R. Použitím funkcie inverznej ku tangensu mi vysiel uhol velkosti 36 stupnov 12 minut. Hoci tento prístup môže byť platný pre určitú geometrickú konfiguráciu, pre dané podmienky (rovnostranný kužeľ vyplývajúci z pomeru povrchov) je uhol proti základni v axiálnom reze kužeľa 60 stupňov. Diskusia naznačovala aj otázky: a ste si istá, že ten uhol je zhodný s polovicou uhla oproti základni ? a Ja by som povedal že tie uhly sa líšia o veľkosť uhla SXV. Tieto otázky poukazujú na dôležitosť presného definovania uhla, ktorý sa má určiť, aby sa predišlo nedorozumeniam.
tags: #gula #vpisana #do #rovnostranneho #kuzela