V geometrii sa často stretávame s pojmami ako objem a povrch telies. Objem telesa vyjadruje, koľko miesta v priestore teleso zaberá. Môžeme si ho predstaviť ako množstvo vody, ktoré by sme potrebovali, keby sme chceli teleso „napustiť“. Povrch telesa je súčet obsahov všetkých plôch, ktoré teleso ohraničujú. Môžeme si ho predstaviť ako veľkosť farebného papiera, ktorý potrebujeme na „polepenie“ telesa.
Objem a povrch hranatých telies
Kváder a Kocka
Kváder a kocka sú špeciálne prípady hranola, ktorých podstava je obdĺžnik (štvorec) a výška je zvyšná hrana. Objem kvádra je súčin dĺžok jeho hrán: V = abc. Objem kocky vypočítame rovnakým spôsobom. Steny kvádra sú obdĺžniky, pričom sú vždy dve rovnako veľké. Kocka má šesť stien a všetky sú tvorené rovnakým štvorcom. Povrch kvádra s dĺžkami hrán a,b,c vypočítame ako súčet obsahov všetkých jeho stien.
Hranol
Hranol má dve rovnaké podstavy a plášť. Povrch hranola, ktorý má podstavu s obsahom S_p a plášť s obsahom S_{pl}, vypočítame ako S=2S_p + S_{pl}.
Ihlan
Objem ihlanu je jedna tretina súčinu obsahu podstavy a výšky, teda V=\frac{1}{3}S_p\cdot v. Povrch ihlanu vypočítame ako súčet obsahu jeho podstavy S_p a obsahu jeho plášťa S_{pl}.
Pozrime sa na príklady výpočtu objemu a povrchu ihlanu:
- Daný je pravidelný štvorboký ihlan (podstava je štvorec o strane a). Doplňte chýbajúce hodnoty tabuľky.
- Nad každou stenou kocky s hranou a = 30 cm je zostrojený pravidelný štvorboký ihlan s výškou 15 cm. Vypočítajte objem takto vzniknutého telesa, ak vrcholy ihlanov:
- ležia mimo kocky
- ležia vo vnútri kocky
- Vypočítajte objem ihlana, ktorého bočná hrana dĺžky 5 cm zviera so štvorcovou podstavou uhol α = 60°. (Uhol α je uhol medzi hranou a uhlopriečkou podstavy.)
- Určite hmotnosť betónového piliera (ρ = 2,2 g.cm-3) tvaru pravidelného štvorbokého zrezaného ihlana, ak jeho štvorcové postavy majú strany a = 45 cm, b = 25cm a výška piliera je v = 33 cm.
Povrch pyramídy - Bočný obsah - Geometria
Objem a povrch okrúhlych telies
Valec
Pre valec platí V=S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy valca. Podstava valca má tvar kruhu s polomerom r a plášť valca je obdĺžnik so stranami v a 2\pi r. Povrch valca je S=2S_p + S_{pl}, kde S_p je obsah podstavy valca a S_{pl} obsah plášťa valca.
Kužeľ
Pre kužeľ platí V=\frac{1}{3} S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy valca. Môže sa stať, že poznáme polomer r podstavy kužeľa a jeho výšku v, ale nemáme zadanú jeho stranu s. Potom si stranu môžeme dopočítať ako preponu pravouhlého trojuholníka s odvesnami s dĺžkami v a r. Objem a povrch „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty \pi \approx 3{,}14 159 265.
Nasleduje niekoľko úloh na výpočet objemu a povrchu kužeľa a zrezaného kužeľa:
- Daný je kužeľ s rozmermi uvedenými v tabuľke. Doplňte tabuľku.
r (cm) v (cm) s (cm) V (cm³) S (cm²) ? ? ? ? ? - Pravouhlý trojuholník s odvesnami a = 3 cm, b = 4 cm rotuje okolo dlhšej odvesny. Vypočítajte objem a povrch takto vzniknutého kužeľa.
- Povrch kužeľa je S = 235,5 cm². Osový rez kužeľom je rovnostranný trojuholník. Vypočítajte objem kužeľa.
- Plášť kužeľa rozvinutý do roviny má tvar kruhového výseku so stredovým uhlom α = 150° a obsahom S = 523,4 cm². Vypočítajte rozmery tohto kužeľa a jeho objem.
- Povrch zrezaného kužeľa je 7693 cm², polomery podstáv sú 28 cm a 21 cm. Vypočítajte výšku kužeľa a jeho objem.
- Objem zrezaného kužeľa je V = 38 000π cm³. Polomer dolnej podstavy je o 10 cm väčší, ako polomer hornej podstavy. Určite polomery podstáv, ak v = 60 cm.
- Zrezaný kužeľ s polomermi x = 15 cm, y = 13 cm a výškou v = 9 cm rozvalcovali na valec s polomerom r = 7,67 cm. Aká je dĺžka tohto valca?
Guľa
Objem a povrch „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty \pi \approx 3{,}14 159 265.
Precvičovanie objemu a povrchu
Na precvičenie výpočtu objemu a povrchu gule a ďalších telies môžete využiť rôzne interaktívne cvičenia. Patria sem napríklad:
- Presúvanie kartičiek: Umiestňovanie kartičiek na správne miesto.
- Rozhodovačka: Rýchle precvičovanie výberom z dvoch možností.
- Krok za krokom: Doplňovanie jednotlivých krokov v rozsiahlejšom postupe.
- Počítanie: Cvičenie, v ktorom píšete odpoveď na klávesnici.
tags: #gula #kuzel #ihlan #ako #pocitat #objem