V stereometrii sa často stretávame s problémom zobrazenia vnútorných štruktúr telies. Na tento účel sa používajú rezy a prierezy, ktoré umožňujú zviditeľniť časti, ktoré nie sú pri bežnom pohľade viditeľné, ako napríklad rôzne druhy otvorov, dutiny a vybrania. Technické kreslenie tiež využíva rezy a prierezy na detailné zobrazenie súčiastok a ich vnútorných štruktúr.
Čo je rez telesa rovinou?
Rez telesa je prienik telesa a roviny. Je to rovinný útvar, ktorého hranica je prienik hranice telesa s rovinou rezu. Hranica rezu sa skladá z prienikov roviny rezu so stenami telesa. Rezom gule je vždy kružnica. Rezom je rovinný útvar, ktorého hranica je prienik hranice telesa s rovinou rezu. Hranica rezu sa skladá z prienikov roviny rezu so stenami telesa.
Základné pojmy a princípy zostrojovania rezov
Zostrojiť rez telesa znamená zostrojiť prienik roviny a telesa. Aby sme mohli zostrojiť rez, je dôležité poznať základné princípy.
Určenie roviny
Rovina je jednoznačne určená:
- Tromi bodmi, ktoré neležia na jednej priamke.
- Priamkou a bodom, ktorý na nej leží.
- Dvoma rôznobežnými priamkami.
Postup pri zostrojovaní rezu
Pri zostrojovaní rezu telesa rovinou postupujeme nasledovne:
- Hľadáme dva body ležiace v jednej rovine, lebo nimi je jednoznačne určená priamka. Ak ležia dva rôzne body v rovine, potom priamka, ktorá nimi prechádza, leží tiež v tejto rovine.
- Ak máme len jeden bod v rovine, snažíme sa nájsť ďalší bod predĺžením hrán telesa tak, aby sme nimi mohli zostrojiť priamku.
- Keď poznáme jednu stranu rezu, môžeme ju pretiahnuť do ostatných stien. Priesečníky s ostatnými stenami určíme tak, že pretiahneme spoločnú hranu steny, kde leží známa úsečka rezu a steny, v ktorej chceme rez nájsť.
Medzi dôležité poučky pri zostrojovaní rezov patria:
- Veta pre rovnobežnosten: Ak je rovina rôznobežná s dvoma rovnobežnými rovinami, tak ich pretína v rovnobežných priamkach. Dve rovnobežné roviny pretína každá ďalšia od nich rôznobežná rovina v dvoch rovnobežných priamkach.
- Veta o priesečníkoch rovín: Tri navzájom rôznobežné roviny sa vždy pretínajú v jednom bode. Týmto bodom prechádzajú všetky tri priesečnice jednotlivých dvojíc rovín.
Rozdiel medzi rezom a prierezom
Je dôležité rozlišovať medzi rezom a prierezom, najmä v technickom kreslení:
- REZ - vzniká vedením rezovej roviny telesom, pričom zobrazíme všetko, čo je v rezovej rovine a čo je za ňou. Umiestňujeme ho podľa pravidiel pravouhlého premietania.
- PRIEREZ - vzniká vedením rezovej roviny telesom, pričom zobrazíme všetko, čo je v rezovej rovine, a čo je za ňou nás nezaujíma. Umiestňujeme ho podľa zásad premietania, môže byť vysunutý alebo sklopený na svojom mieste.
Introduction to Sections
Rezová rovina
Rezová rovina je myslená rovina prechádzajúca telesom, ktorá slúži na jeho rozdelenie pre zobrazenie vnútorných štruktúr.
Definovanie rezovej roviny
- Rezovú rovinu zakresľujeme v pravouhlom zobrazení.
- Rezová rovina prechádza cez čo najviac otvorov.
- Rezová rovina je rovnobežná s niektorou priemetňou.
Tvary rezových rovín
Rezové roviny môžu mať rôzne tvary v závislosti od komplexnosti rezu:
- Rovinná
- Lomená
- Zakrivená
- Valcová - len výnimočne, rezová rovina je zvinutá do valca.
Označovanie rezových rovín
Pri označovaní rezových rovín sa riadime nasledujúcimi pravidlami:
- Rezovú rovinu zakresľujeme tenkou bodkočiarkovanou čiarou. Bodkočiarkovanú čiaru môžeme vynechať, ak neprechádza osami.
- Na začiatku, zalomenia a konci kreslíme hrubou čiarou.
- K hrubým čiaram vedieme kolmé hrubé čiary so šípkami, s dvojicou písmen podľa abecedy (A-A, B-B, atď.). Dvojica písmen identifikuje rez.
- Smer šípky určuje smer pohľadu na zobrazený rez (prierez).
- Vnútorná hrubá čiara vždy pretína obrys telesa.
Čomu by sa rezové roviny nemali vyhýbať
Aby sa predišlo nejasnostiam a zachovala sa prehľadnosť výkresu, rezové roviny by nemali prechádzať:
- Rebrami, ramenami, stenami a vystuženými rebrami v pozdĺžnom smere.
- Prerušovanými časťami (napr. zuby ozubených kolies).
- Dlhými plnými alebo dutými časťami z plechu, ktoré sa kreslia vždy v priečnom a nie v pozdĺžnom reze.
- Spojovacími súčiastkami (skrutky, nity, atď.).
Delenie rezov a prierezov
Rezy a prierezy sa delia podľa spôsobu ich prevedenia a vedenia rezovej roviny.
Tu je prehľad základných typov rezov a prierezov:
| Druh rezu/prierezu | Popis |
|---|---|
| Polovičný rez | Zobrazuje jednu polovicu telesa v reze a druhú v pohľade. |
| Miestny (čiastočný) rez | Zobrazuje len časť telesa v reze, aby sa odhalili detaily. |
| Úplný rez | Zobrazuje celé teleso v reze. |
| Pootočený prierez | Prierez je pootočený do roviny nákresu. |
| Vysunutý prierez | Prierez je vysunutý mimo telesa, aby bol lepšie viditeľný. |
| Horizontálny rez | Rez vedený vodorovne (pôdorysný). |
| Vertikálny rez | Rez vedený zvisle (bokorysný). |
Zakresľovanie rezov a prierezov
Rezy a prierezy zakresľujeme šrafovaním. Druh šrafovania závisí od druhu materiálu, napr.:
- Kovy šrafujeme podľa pravítka, pod 45º uhlom.
- Drevené materiály šrafujeme voľnou rukou.
Šrafovacie čiary v jednom materiáli sú od seba rovnako vzdialené. Dva a viac rôznych materiálov vedľa seba rozlišujeme zmenou smeru šrafovania alebo zmenou vzdialenosti medzi čiarami.
Rezy telies
Rezy kocky
Zostrojiť rez kocky znamená zostrojiť prienik roviny a kocky. Pôjde o mnohouholník, ktorý leží v rovine rezu a jeho strany sú okraje rezu, teda čiary, kade rovina prereže steny kocky. Tieto priesečnice rezovej roviny so stenami telesa chceme zostrojiť. Ak ležia dva rôzne body v rovine, potom priamka, ktorá nimi prechádza, leží tiež v tejto rovine. Keď poznáme v stene telesa dva rôzne body, ktoré oba ležia v rovine rezu, nakreslíme ich spojnicu.
Poučky pre rezy kocky
- Veta 1: Ak je rovina rôznobežná s dvoma rovnobežnými rovinami, tak ich pretína v rovnobežných priamkach. Rovina EFGH je rôznobežná s dvoma rovnobežnými rovinami ADEH a BCFG a pretína ich v dvoch priamkach EH a FG, ktoré sú navzájom rovnobežné.
- Veta 2: Ak je priamka rovnobežná s dvoma rôznobežnými rovinami, tak je rovnobežná aj s ich priesečnicou. Priamka FB je rovnobežná s dvoma rôznobežnými rovinami ADEH a CGDH. Priesečnica týchto dvoch rovín je rovnobežná s priamkou FB.
Príklady rezov kocky
Príklad č.1: Zostrojme rez kocky rovinou HPQ
Bod P leží na priamke CG a bod Q je v prednej stene kocky.
- Najprv spojíme priamkou body H a P. Dostaneme tak rez zadnej steny.
- Teraz využijeme vetu 1. Keďže rovina HPQ je rôznobežná s dvoma rovnobežnými rovinami, s rovinou prednej steny a rovinou zadnej steny, pretína ich v rovnobežných priamkach. Takže bodom Q ťaháme rovnobežku s priamkou HP.
- Dostali sme tak dva body X,Y, ktoré patria rovine HPQ, takže môžeme spojiť body X,H priamkou čím dostaneme rez bočnej steny kocky.
- Bodom P ťaháme rovnobežku s priamkou XH. Dostaneme tak rez pravej bočnej steny a bod Z, ktorý leží podobne ako bod Y v rovine podstavy. Tieto body spojíme priamkou.
Dostaneme tak rez kocky rovinou HPQ.
Príklad č.2: Zostrojme rez kocky rovinou KLM
Bod K leží na priamke AE, bod L na priamke EH a bod M je v zadnej stene kocky.
- Najprv spojíme body K,L priamkou.
- Predlžíme si priamku HD smerom hore a podobne aj priamku KL. Priesečník týchto dvoch priamok si označíme písmenom P.
- Bodom P vedieme priamku cez bod M, pričom dostávame dva body X,Y. Úsečka XY je vlastne rezom zadnej steny kocky.
- Bodom K vedieme rovnobežku s priamkou XY. Dostaneme tak bod T.
- Bodom Y vedieme rovnobežku s priamkou KL a dostaneme pritom bod Z.
- Body LX a body TZ spojíme priamkou.
Rezy mnohostenov
Pri rezaní mnohostenov sa tiež uplatňujú všeobecné geometrické pravidlá.
Poučky pre rezy mnohostenov
- Veta 1: Nech každé dve z troch rovín sú rôznobežné. Ak dve z ich priesečníc sú rôznobežné, tak aj tretia priesečnica prechádza priesečníkom prvých dvoch. Ak dve z priesečníc sú rovnobežné, tak je s nimi rovnobežná aj tretia priesečnica.
Príklady rezov mnohostenov
Príklad č.1: Zostrojme rez štvorbokého nepravidelného hranola rovinou XYZ
Bod Y leží na priamke DH, bod Z leží na priamke GH a bod X na priamke AB.
- Spojíme si body Y,Z čím dostaneme rez zadnej steny.
- Predlžíme si priamku DC a priamku YZ. Priesečníky týchto priamok si označíme bodom P.
- Bodom P vedieme priamku cez bod X, ktorý je v rovine podstavy hranola. Dostaneme tak rez podstavy.
- Bodom Z vedieme rovnobežku s priamkou RX. Dostávame tak bod Q.
- Podobne aj bodom X vedieme rovnobežku s priamkou YZ, pričom dostaneme bod S.
- Body S a Q spojíme a spojíme aj body R a Y.
A máme rez hranola rovinou XYZ.
Príklad č.2: Zostrojme rez štvorstena rovinou KLM
Bod K leží v rovine ACD, bod L leží v rovine ABD a bod M v rovine podstavy ABC.
- Zapamätajme si, že pri ihlane, štvorstene prekladáme rovinu, ktorá obsahuje jeho hlavný vrchol v našom prípade je to vrchol D.
- Pri preložení roviny vrcholom D a bodmi K,L dostaneme obrazy bodov, ktoré ležia v rovine podstavy.
- Obrazy týchto bodov spojíme priamkou. Takisto spojíme priamkou aj pôvodné body K,L. Priesečnicu týchto priamok si označíme bodom P.
- Bodom P vedieme priamku cez bod M. Dostaneme tak rez podstavy štvorstena XY.
- Bodom X vedieme priamku cez bod K.
- Podobne vedieme priamku bodom Y cez bod L. Dostaneme tak dva body Z a U, ktoré tiež spojíme.
Rezy kužeľovej plochy a rotačných telies
Rezom rotačnej kužeľovej plochy (okrem prípadov, keď rovina rezu prechádza vrcholom V) môžu byť tri základné typy kriviek, známe ako kužeľosečky: elipsa, parabola a hyperbola.
Elipsa
Regulárna elipsa vzniká, ak rovina rezu neprechádza vrcholom V a pretína všetky tvoriace priamky kužeľa. Rez je elipsa, ak vrcholová rovina obsahuje iba vrchol V. Úsečky AB, CD sú združené priemery elipsy, ktorá je obrazom rezu. Vedľajšie vrcholy C, D ležia na hlavnej priamke p (C3®C1®C2, D3®D1®D2). Body rezovej čiary ležia na viditeľných tvoriacich priamkach.
Parabola
Parabolický rez rotačnej kužeľovej plochy vzniká, ak je rovina rezu rovnobežná s jednou tvoriacou priamkou kužeľa. V takomto prípade rovina pretína kužeľovú plochu iba raz. Vrchol A je jej priesečník s kužeľovou plochou. Vrchol A je vrcholom pôdorysu rezovej paraboly. Parabolu, ktorá je pôdorysom rezu, narysujeme pomocou vety o subtangente (úP1A1ú =úA1Q1ú, bod Q1Îk1).
Ak je rovina a rovnobežná s dotykovou vrcholovou rovinou s, potom rez je parabola.
Hyperbola
Hyperbolický rez rotačnej kužeľovej plochy (dvojkužeľa) vzniká, ak rovina rezu pretína obe časti (nappy) dvojkužeľa. Rovina pretína kužeľ v dvoch tvoriacich priamkach 1q,2q - rez je hyperbola. Hyperbola prechádza bodmi X a Y, v ktorých rovina a pretína určujúcu kružnicu k. Asymptoty hyperboly ležia v rovine a (1as=1PO, 2as=2PO). Hyperbola je určená asymptotami a bodom hyperboly.
Pre zložitejšie zostrojovanie rezov, napríklad kužeľovej plochy rovinou a, ktorá je kolmá na pomocnú priemetňu v kolmej axonometrii, alebo kužeľovej plochy v Mongeovom premietaní, sa využívajú transformácie priemetní a tretie priemety. Napríklad, zostrojíme 3. priemet roviny a (zobrazí sa ako priamka a3) a 3. priemet kužeľovej plochy, čo pomáha pri zobrazení a analýze výsledného rezu.
tags: #rezy #a #rezove #roviny #ppt