Úlohy zamerané na hľadanie čísel, ktoré spĺňajú určité vlastnosti, sú bežnou súčasťou matematických súťaží a olympiád. Tieto úlohy často vyžadujú kombináciu logického myslenia, algebraických zručností a systematického prístupu. V tomto článku sa pozrieme na rôzne typy úloh s dvojcifernými číslami a ukážeme si, ako ich efektívne riešiť.
Riešenie pomocou premenných a rovníc
V úlohách, kde máme nájsť čísla s určitými vlastnosťami cifier, je užitočné označiť si cifry písmenami. Napríklad, dvojciferné číslo môžeme označiť ako \overline{AB}, kde A a B sú cifry tohto čísla. Dôležité je mať na pamäti, že \overline{AB} nereprezentuje súčin A a B, ale dvojciferné číslo, preto používame čiarku nad symbolom.
Pri riešení úloh s dvojcifernými číslami je dôležité vymedziť, aké hodnoty môžu cifry nadobúdať. Napríklad, žiadna cifra nemôže byť 0, ak hľadáme dvojciferné čísla. Takisto, ak máme dve dvojciferné čísla, kde prvé je menšie ako druhé, môžeme odvodiť vzťahy medzi ich ciframi.
Príklad: Fordova rýchlosť a míľniky
Predstavme si situáciu, kde Ford prechádza popri míľnikoch s číslami. Prvý míľnik má číslo v tvare \overline{AB}, druhý \overline{BA} a tretí buď \overline{A0B} alebo \overline{B0A}. Našou úlohou je zistiť, aké sú hodnoty týchto míľnikov, ak vieme, že Ford ide konštantnou rýchlosťou.
Vieme, že hodnota tretieho míľnika je súčtom Fordovej rýchlosti a hodnoty na druhom míľniku. Keďže Fordova rýchlosť je rozdielom hodnôt na druhom a prvom míľniku, a tie sú obe dvojciferné, aj jeho rýchlosť bude najviac dvojciferná. Tretí míľnik je teda súčtom dvoch dvojciferných čísel, čo znamená, že jeho hodnota nemôže byť väčšia ako 198. Z toho vyplýva, že jedna z cifier A alebo B musí byť 1. Keďže žiadna cifra nemôže byť 0 a Ford ide stále konštantnou rýchlosťou, druhý míľnik bude musieť byť väčší ako prvý, takže A < B.
Riešenie pomocou skúšania
V tomto momente môžeme pokračovať viacerými spôsobmi. Jedným z nich je systematické skúšanie. Vytvoríme si tabuľku, kde pre každé B vypočítame hodnotu tretieho míľniku a porovnáme ju s požadovanou hodnotou \overline{A0B}:
| B | Výpočet | \overline{10B} |
|---|---|---|
| 2 | 21 + (21 - 12) = 30 | 102 |
| 3 | 31 + (31 - 13) = 49 | 103 |
| 4 | 41 + (41 - 14) = 68 | 104 |
| 5 | 51 + (51 - 15) = 87 | 105 |
| 6 | 61 + (61 - 16) = 106 | 106 |
| 7 | 71 + (71 - 17) = 125 | 107 |
Ďalej už skúšať netreba, pretože hodnoty na treťom míľniku sa budú len zväčšovať a nebudú mať na mieste desiatok 0. Z tabuľky vidíme, že riešením sú míľniky 16, 61 a 106. Rozdiel medzi nimi je vždy 45, čo je aj Fordova rýchlosť.
Riešenie pomocou rovníc
Ďalším spôsobom je zapísať vzťah medzi míľnikmi pomocou rovnice:
\overline{B1} + (\overline{B1} - \overline{1B}) = \overline{10B}
Takéto rovnice, kde neznáme znamenajú cifry, sú nepraktické. Vieme ale, že pre číslo \overline{B1} platí, že \overline{B1} = 10 \cdot B + 1.
\begin{aligned}10 \cdot B + 1 + 10 \cdot B + 1 - 10 - B &= 100 + B \20 \cdot B - B + 2 - 8 &= 100 + B &/+ 8, - B \19 \cdot B - 8 &= 100 + B \18\cdot B &= 108 \B &= 6\end{aligned}
Z tohto nám opäť vyšlo B = 6, rovnako ako v riešení pomocou skúšania.
Vyriešte x v jednom kroku (zjednodušenie matematiky)
Príklad: Hľadanie čísel s rôznymi ciframi a špecifickým súčtom
Ďalším typom úlohy je nájsť štvorciferné číslo, ktorého cifry sú všetky rôzne a ktorého ciferný súčet je 16. Zároveň vieme, že dvojnásobok tohto čísla je palindróm.
Analýza podmienok
- Štvorciferné číslo: Má tvar ABCD.
- Cifry sú rôzne: A ≠ B ≠ C ≠ D a žiadna cifra sa neopakuje.
- Ciferný súčet 16: A + B + C + D = 16.
- Dvojnásobok je palindróm: Číslo 2 * ABCD čítané spredu aj zozadu je rovnaké.
Postup riešenia
Na úvod sa zamyslime nad počtom cifier dvojnásobku nášho hľadaného čísla. Najväčšie štvorciferné číslo je 9999, takže najväčší možný dvojnásobok je 19998. Bude mať teda štyri alebo päť cifier. Vieme však, že toto číslo je dvojnásobok a zároveň palindróm. Keďže je dvojnásobok, bude isto párne a teda bude končiť na párnu cifru. Keďže je to palindróm tak má prvú a poslednú cifru rovnakú. Daný dvojnásobok teda musí začínať na párnu cifru, čo 1 nie je.
ABCD je naše hľadané číslo, jeho cifry sú navzájom rôzne a platí A+B+C+D = 16. Odrazme sa práve od prvej cifry E dvojnásobku. Najväčší prechod cez desiatku, ktorý môžeme dostať pri násobení dvomi je 1. (9 \cdot 2 + 1 = 19.) O E na začiatku teda platí buď E = 2 \cdot A alebo E = 2 \cdot A + 1. Preskočme teraz s novým zistením na koniec. A a D sú rôzne cifry, ktoré keď vynásobíme dvomi, dajú číslo končiace tou istou cifrou (E). Pri jednom násobení teda príde k prechodu cez 10, v druhom nie. Vidíme, že pri násobení nepribúdajú cifry, takže bez prechodu bude násobenie A.
Pokračujme teraz k druhej pozícii odzadu. Keďže pri násobení D máme prechod cez desiatku, vidíme, že F (druhá cifra dvojnásobku) bude nepárne. Dvojnásobok C bude končiť párnou cifrou, čo sa nám pripočítaním 1 zmení. Túto myšlienku však vieme využiť aj naopak. Aby F, teraz druhá cifra, bolo nepárne, nestačí nám len vynásobiť B dvomi. Spomeňme si teraz na to, že pri násobení A nepripočítavame prechod.
Vráťme sa teraz k podmienke s ciferným súčtom. Tá hovorí, že A+B+C+D=16. My však vieme, že D = A+5 a C = B + 5. Takže A + B + B+5 + A+5 = 16, odkiaľ 2 \cdot (A+B) = 6. Súčet A a B je teda 3. Overme teda obe možnosti.
Ak A=1 a B=2 dostávame C=7 a D = 6. Cifry sú rôzne a ich súčet sedí. 1276 \cdot 2 = 2552, čo je palindróm. Naopak, pre A=2 a B=1 dostávame C=6 a D=7. Cifry ani ich súčet sa nezmenili, zostáva overiť dvojnásobok. 2167 \cdot 2 = 4334, čo je opäť palindróm.
Úlohy s vlastnosťami deliteľnosti
Často sa stretávame s úlohami, kde sú dané podmienky týkajúce sa deliteľnosti. Príkladom môže byť situácia, kedy hľadáme dvojciferné čísla AB a BA, pre ktoré platí, že nsn(AB, BA) = 5 \cdot AB a zároveň AB je deliteľné A+B.
Riešenie:
Poznámka: AB znamená číslice A a B napísané vedľa seba.
Keďže nsn(AB, BA) = 5 \cdot AB, tak 5 \cdot AB je násobok BA. Ak by BA nebolo deliteľné 5, tak by BA muselo byť nejakým deliteľom AB. To by však znamenalo, že nsn(AB, BA) = AB, čo podľa zadania neplatí. Aby nejaké číslo bolo deliteľné 5, musí sa jeho posledná cifra rovnať 0 alebo 5. Keďže však AB aj BA sú dvojciferné čísla, tak cifry A, B sú nenulové. Z prvej rovnice vieme, že AB je deliteľné A + B. AB = 10 \cdot A + B = 50 + B a A + B = 5 + B. Keďže 5 + B delí 50 + B, potom 5 + B delí aj 50 + B - (5 + B) = 45.
Keďže B je cifra a číslo BA je dvojciferné, tak B je aspoň 1 ale najviac 9, takže 5 + B je aspoň 6, ale najviac 14. Delitele čísla 45 sú 1, 3, 5, 9, 15 a 45, z toho je len jeden väčší ako 6 ale menší ako 14, a to 9, ktorý dostaneme ak B = 4. Cifry A a B nemôžu byť 0, inak by AB alebo BA nebolo dvojciferné číslo. Z rovnice je vidno, že 4 \cdot A je deliteľné piatimi, avšak to je možné len A je deliteľné piatimi. Jediná nenulová cifra deliteľná piatimi je 5, čo bude naše A. Po dosadení A = 5 do rovnosti 5 \cdot B = 4 \cdot A a predelení 5 dostávame B = 4.
tags: #dvojciferne #cisla #ktore #maju #obe #rovnake