Článok sa zaoberá problematikou gule, ktorá sa dotýka hrán kocky, pričom sa zameriava na vzorce, definície a súvislosti s rôznymi oblasťami matematiky. Cieľom je poskytnúť komplexný pohľad na túto tému, od základných definícií až po zložitejšie geometrické konštrukcie a výpočty.
Základné pojmy a definície
Pre lepšie pochopenie problematiky je nevyhnutné definovať základné pojmy, s ktorými budeme pracovať:
- Kocka: Pravidelné teleso so šiestimi štvorcovými stenami. Je to trojrozmerné teleso, pravidelný mnohosten patriaci medzi platónske telesá, špeciálny prípad kvádra. Má 6 zhodných štvorcových stien, 12 hrán a 8 vrcholov.
- Guľa: Teleso, ktorého povrch je tvorený bodmi rovnako vzdialenými od daného pevného bodu (stredu gule).
- Polomer (r): Vzdialenosť od stredu kružnice k bodu na kružnici, alebo od stredu gule k jej povrchu.
- Geometria: Veda o tvaroch kriviek, rovinných obrazcov, rovín a telies.
- Bod: Geometrický útvar, ktorý má nulový rozmer. Napr. bod v rovine A [2 ; 3], B [-5 ; 7].
Predstavme si kocku. Teraz si predstavme guľu, ktorá sa dotýka každej hrany tejto kocky. Ako by sme vypočítali polomer takejto gule?
Vzťah medzi guľou a kockou
Ak je \(a\) dĺžka hrany kocky, objem kocky je daný vzťahom \(V = a^3\) a obsah plášťa vzťahom \(S = 6a^2\). Veľkosť telesovej uhlopriečky \(u\) je určená vzťahom \(u = a\sqrt3\) a veľkosť stenovej uhlopriečky vzťahom \(u_1 = a\sqrt2\). Polomer opísanej guľovej plochy \(r = \frac{\sqrt3}{2}a\), polomer vpísanej guľovej plochy \(\rho = \frac{a}{2}\).
Pre guľu, ktorá sa dotýka všetkých hrán kocky, platí nasledujúci vzťah pre jej polomer:
Tento vzorec platí, pretože stred gule sa nachádza v strede kocky a dotykový bod gule s hranou kocky je stred hrany. Polomer gule je teda polovicou dĺžky hrany kocky vynásobený \(\sqrt{2}\)/2, čo je vzdialenosť od stredu kocky k stredu hrany.
Presnejšie, polomer gule dotýkajúcej sa všetkých hrán kocky s dĺžkou hrany \(a\) je \(r = \frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Výpočet povrchu a objemu gule
Ak poznáme polomer gule, môžeme vypočítať jej povrch a objem. Objem „guľatých“ telies vypočítame s využitím konštanty \(\pi \approx 3{,}14 159 265\).
Vzorce pre výpočet:
- Povrch gule: \(S = 4\pi r^2\)
- Objem gule: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\)
Virus attacking cell and replicating
Súvislosti s inými geometrickými telesami
V matematike sa často stretávame s rôznymi geometrickými telesami, ktorých objem a povrch môžeme vypočítať pomocou špecifických vzorcov. Medzi základné a najčastejšie používané patria kocka a kváder.
Kváder a kocka
Kváder a kocka sú špeciálne prípady hranola, ktorých podstava je obdĺžnik (štvorec) a výška je zvyšná hrana. Objem kvádra je teda súčin dĺžok jeho hrán: \(V = abc\).
Objem kocky vypočítame rovnakým spôsobom. Pre kocku s hranou \(a\) platí:
- Objem: \(V = a^3\)
- Obsah: \(S = 6a^2\)
Pre kváder s hranami \(a, b, c\) platí:
- Objem: \(V = a \cdot b \cdot c\)
- Obsah: \(S = 2(ab+ac+bc)\)
Hranol a valec
Pre hranol s obsahom podstavy \(S_p\), obsahom plášťa \(Q\) a výškou \(v\) platí:
- Objem: \(V = S_p \cdot v\)
- Obsah: \(S = 2S_p + Q\)
Objem valca s polomerom podstavy \(r\) a výškou \(v\) sa vypočíta ako:
- Objem: \(V = \pi \cdot r^2 \cdot v\)
- Obsah: \(S = 2\pi r(r+v)\), kde \(Q = 2\pi rv\).
Ihlan a kužeľ
Objem ihlanu je jedna tretina súčinu obsahu podstavy a výšky, teda \(V = \frac{1}{3} S_p \cdot v\).
Pre kužeľ platí \(V = \frac{1}{3} S_p \cdot v\), kde \(S_p\) je obsah podstavy valca.
Príklady výpočtov
Nižšie uvádzame niektoré príklady výpočtov týkajúcich sa objemov a povrchov geometrických telies:
- Dve debničky tvaru kocky s hranami \(a = 70 \text{ cm}, b = 90 \text{ cm}\) treba nahradiť jednou debničkou tvaru kocky. Aká bude jej hrana? Riešenie: Hrana náhradnej kocky bude \(c = 102,3 \text{ cm}\).
- Hrana druhej kocky je o 2 cm väčšia, ako hrana prvej kocky. Rozdiel objemov kociek je 728 cm³. Vypočítajte veľkosti hrán obidvoch kociek. Riešenie: Hrana prvej kocky je 10 cm, druhej 12 cm.
- Hrany dvoch kociek sa líšia o 22 cm. Ich povrchy sa líšia o 19272 cm². Určite hrany obidvoch kociek.
- Kváder má rozmery \(a = 4 \text{ cm}, b = 3 \text{ cm}, c = 5 \text{ cm}\). Vypočítajte uhol \(\alpha\) medzi podstavovou a telesovou uhlopriečkou.
- Povrch kvádra je \(S = 376 \text{ cm}^2\). Pre jeho hrany platí \(a:b:c = 3:4:5\). Vypočítajte objem tohto kvádra.
- Vo vodojeme tvaru kvádra je 1500 hl vody, výška vody je 2,5 m. Určite rozmery dna, ak jeden rozmer je o 4 m väčší, ako druhý.
- Vypočítajte objem kvádra, ak jeho podstava má \(S_1 = 272 \text{ cm}^2\) a bočné steny \(S_2 = 240 \text{ cm}^2, S_3 = 255 \text{ cm}^2\).
Konštrukcia rezu kocky
Zostrojiť rez kocky znamená zostrojiť prienik roviny a kocky. Pôjde o mnohouholník, ktorý leží v rovine rezu a jeho strany sú okraje rezu, teda čiary, kade rovina prereže steny kocky.
Tieto priesečnice rezovej roviny so stenami telesa chceme zostrojiť. Ak ležia dva rôzne body v rovine, potom priamka, ktorá nimi prechádza, leží tiež v tejto rovine. Keď poznáme v stene telesa dva rôzne body, ktoré oba ležia v rovine rezu, nakreslíme ich spojnicu. Dve rovnobežné roviny pretína každá ďalšia od nich rôznobežná rovina v dvoch rovnobežných priamkach. Tri navzájom rôznobežné roviny sa vždy pretínajú v jednom bode.
Údržba a skladanie kociek
Okrem teoretických výpočtov sa môžeme venovať aj praktickej stránke, ako je skladanie a údržba moderných hádaniek, ako sú Rubikove kocky.
Rozkladanie a skladanie Rubikovej kocky 3x3x3
Postup rozloženia 3x3x3 kocky: Prvým krokom je rozobrať celú kocku. Najjednoduchší postup je otočiť hornú vrstvu o 45 stupňov a následne vybrať hranu, ostatné dieliky už potom idú vybrať ľahko. Keby ti to nešlo, kocku si povoľ skrutkovačom.
Postup skladania 3x3x3 kocky: Trojka sa rozoberá od hrany hornej vrstvy. Celú vrstvu si pootoč o 45 stupňov a potom pootočením vyber hranu. Kocku späť zložíš opäť od ľubovoľnej hrany. Potom pokračuj cez susednú hranu a roh, ktorý patrí medzi ne. Nakoniec, aby bola kompletná jedna celá časť kocky okolo rohu, doplň poslednú hranu. Potom rovnakým spôsobom pokračuj ďalej. Ako posledný dielik ide na miesto opäť hrana.
Rozkladanie a skladanie Rubikovej kocky 2x2x2
Postup rozloženia 2x2x2 kocky: U kociek 2x2 ide niekedy opatrne vybrať roh a zvyšok už ide ľahko. Pokiaľ roh vybrať nejde, pomôž si skrutkovačom - povoľ jednu stranu a roh potom to už pôjde.
Postup skladania 2x2x2 kocky: Nie všetky vnútorné dieliky sú u dvojiek rovnaké. Tri z nich majú v strede také malé pacičky. Tieto tri dieliky sa zložia do trojuholníka okolo stredu (stred má špeciálne drážky tam, kam tieto dieliky patria) a vytvoria pevný základ, okolo ktorého sa celý zvyšok kocky otáča. Najprv vlož dva z týchto špeciálnych dielikov, potom vlož ľubovoľný prvý roh a následne ho uzamkni tretím vnútorným dielikom. Potom vkladaj postupne vnútorné hrany a vonkajšie dieliky. Odporúčame skladať kocku rovno podľa farieb, pretože keby si to robil ľubovoľne, musel by si na konci možno niečo prerábať, aby išla kocka zložiť. Keď už ti zostávajú posledné dva rohy a jedna vnútorná hrana, daj dovnútra najprv jeden roh, po ňom vnútorný dielik a potom nasaď posledný roh.
Rozkladanie a skladanie Rubikovej kocky 4x4x4
4x4x4 kocka je na rozkladanie a opätovné skladanie samozrejme zložitejšia ako dvojka alebo trojka. Opäť sa pri rozkladaní začína hranami. Pri štvorkách sú vnútorných dielikov dva druhy - hrany (oválne) a stredy (tenké). Vnútorná hrana patrí medzi dva vnútorné stredy. Základom je postaviť také písmeno L z dvoch hrán. Na tento vnútorný základ potom začni dávať vonkajšie dieliky, najprv stred, potom hranu. Postav tak jednu osminu kocky - okolo jedného rohu. Keď už máš kocku z polovice zloženú, vnútorné biele dieliky môžeš zastrkať dovnútra a na ne ešte len dávať vonkajšie farebné. Pôjde ti to tak lepšie. Následne môžeš aj odmontovať stredy skrutkovačom.
Údržba kociek
Umývanie dielkov: Všetky rozobrané dieliky môžeš umyť v jarovej vode, ale skrutky tam rozhodne nikdy nedávaj. Ak nechceš venovať toľko času následnému sušeniu, môžeš dieliky jednoducho utrieť utierkami alebo obrúskami.
Lubrikovanie: Používa sa ťažší lub na báze silikónu, rozhodne nikdy nepoužívaj lub na báze vody. Tomáš používa Traxxas 30k Lube. Nanášaj na koreň skrutky a na hlavicu a na stred, zabrániš tým vŕzganiu kocky. Predtým, než zložíš poslednú stranu, vezmi si opäť ťažšie lube (napríklad Traxxas) a nanášaj ho. Keď už ti chýbajú v kocke len dve hrany a jeden roh, na odvrátenú stranu hrán pridaj opäť trošku lubu. Najprv sa ti kocka môže zdať tuhá, ale asi po dvadsiatich solvách sa ustáli a bude krásne stabilná. Až je vnútri ťažký lube rozomletý, použi lube na báze vody. Rozhodne sa neodporúča Maru lube, pretože ten vydrží v skratke niekoľko minút a tiež na seba veľa nabaľuje špinu.
Nastavovanie skrutiek: V nasledujúcom kroku nastavujeme skrutky. Tomáš prichádza so svojim tipom, že uťahuje skrátka tak dlho, kým neuvidí presne jeden (na počte nezáleží) závit.
tags: #gula #dotykajuca #sa #hran #kocky