Ihlan je priestorový geometrický útvar, ktorý má jednu podstavu a plášť tvorený trojuholníkmi. Podstava ihlanu môže byť ľubovoľný mnohouholník (napríklad štvorec, obdĺžnik alebo trojuholník) a všetky bočné steny (plášť) sa stretávajú v jednom spoločnom bode nazývanom vrchol ihlanu.
Pravidelný n-boký ihlan má ako podstavu pravidelný n-uholník, jeho plášť tvorí n rovnoramenných trojuholníkov.
Objem ihlanu sa vypočíta podľa vzorca V = \frac{1}{3} S_p \cdot v, kde S_p je obsah podstavy a v je výška ihlanu, čo je vzdialenosť vrcholu od roviny podstavy.
Povrch ihlanu získame ako súčet obsahu podstavy a obsahu plášťa S_p. Obsah plášťa je rovný súčtu obsahov všetkých bočných trojuholníkových stien ihlanu.
Rovnostranný ihlan
Pravidelný štvorsten je ihlan, ktorého základňa aj všetky tri bočné steny sú rovnostranné trojuholníky. V rovnostrannom trojuholníku leží ťažnica na výškach a zároveň na osách vnútorných uhlov.
Príklady zostrojovania rezov ihlanov
Pri zostrojovaní rezov ihlanov sa často využívajú geometrické vety a vlastnosti telies. Predstavme si niekoľko príkladov:
Zostrojovanie rezu pravidelného šesťbokého ihlana
Daný je pravidelný šesťboký ihlan, stred podstavy a pre bod platí . Najprv určíme rezovú rovinu na základe rovnobežnosti priamky a roviny. Rovina bude určená rôznobežkami. Priamka je rovnobežná s priamkou prechádzajúca bodom a je rovnobežka s priamkou prechádzajúca bodom. Zrejme leží v rovine podstavy a v rovine steny. Potom zrejme prienik podstavy ihlana s priamkou je úsečka 12. Prienikom priamky a steny je zrejme úsečka 23, ktorá je časťou hľadaného rezu v bočnej stene. Pri dokončení rezu využijeme vetu o vzájomnej polohe troch rovín.
Zostrojovanie rezu štvorbokého pravidelného ihlana
Je daný štvorboký pravidelný ihlan ABCDV. Bod F patrí hrane DV a bod G leží v rovine trojuholníka ABV. Zostrojte rez ihlana rovinou DFG.
Ďalší príklad: V rovine podstavy ihlana ABCDV je daná priamka p a vnútri hrany CV bod K. Priamka p leží v rovine podstavy ABC a je rovnobežná s hranou AB. Zostrojte rez ihlana rovinou pK.
Zostrojovanie rezu štvorstena
Je daný štvorsten ABCD, zostrojte rez rovinou určenou bodmi KLM, kde K Î AB, L Î AD a M Î CD. Zostrojte rez štvorstena ABCD rovinou KLM, kde K leží v rovine trojuholníka ACD, L Î BC a M Î CD.
Príklady výpočtov s ihlanmi
-
Charakterizujte výpočet objemu a obsahu pre:
- ihlan
- zrezaný ihlan
- kužeľ
- zrezaný kužeľ
-
Daný je pravidelný štvorboký ihlan (podstava je štvorec o strane a). Doplňte chýbajúce hodnoty tabuľky.
Strana podstavy a Výška ihlana v Objem V Povrch S ... ... ... ... V tomto prípade je potrebné doplniť hodnoty na základe vzorcov pre objem a povrch ihlana, prípadne zadaných hodnôt.
-
Nad každou stenou kocky s hranou a = 30 cm je zostrojený pravidelný štvorboký ihlan s výškou 15 cm. Vypočítajte objem takto vzniknutého telesa, ak vrcholy ihlanov:
- ležía mimo kocky
- ležía vo vnútri kocky
Riešenie: Objem telesa v prvom prípade je V = 54 dm3, v druhom prípade je nulový.
-
Vypočítajte objem ihlana, ktorého bočná hrana dĺžky 5 cm zviera so štvorcovou podstavou uhol α = 60°. (Uhol α je uhol medzi hranou a uhlopriečkou podstavy.)
-
Určite hmotnosť betónového piliera (ρ = 2,2 g.cm-3) tvaru pravidelného štvorbokého zrezaného ihlana, ak jeho štvorcové postavy majú strany a = 45 cm, b = 25cm a výška piliera je v = 33 cm.
tags: #rezy #rovnostranneho #ihlana #priklady